Answer

渡航要件に関しては、どうにもなりません。
しかし、国によっては残存期間に欠ける日数が数日である場合は、
ビザを取れば入国できる国、誓約書を書けば渡航できる国も実際にはあります。

しかし一番よいのは新しいパスポートを間に合わせることです。
休日などを入れるとパスポートの出来上がりには７から１０日間かかるので、
ご質問の御客様の場合は一般申請では無理です。

しかし、今回の渡航がご出張で、どうしてもご出発されなくてはならない事情がある場合には
パスポートの早期作成願という方法があります。
緊急性、誰も代替えがきかないこと等を証明することで、
３から５日くらいでパスポートの発行を間に合わせてくれることがあります。
これはあくまで「願い」であるので、受け入れられるかどうかは外務省の判断によります。

早期作成願いには、
１、会社からの出張証明書、２、現地からの招聘要請の記載の文面のファックスなどを
通常の申請書書類に添付することで、認められることもあります。
あくまで緊急避難的な考え方で、この出張が必要と判断されることが必要です。

そういった事情だけですから観光で早期作成はありえません。

仕事でなくて認められるのは人道的な見地に立った場合だけです。
現地にいるご両親とか肉親の危篤とか、現地で肉親が事件性の事に巻き込まれたとか
緊急かつ人道的理由がそれにあたります。

ですからそれ以外はすべて不可。
渡航要件を整えるのはご本人責任ですので、ご旅行を決めたらまずパスポートを確認。
忘れずお願いいたします。